计算几何算法4. 关于平面以及点到平面的距离

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关于平面
平面方程
计算参数坐标
点到平面的距离
实现
pbase_Plane()
参考文献

关于平面

尽管欧几里得在《几何原本I》里把平面定义为除了点和线之外的第三个基本几何体,但是他没有证明任何关于平面的性质,这种情形延续到很久后的《几何原本XI》。即使在证明《几何原本XI》中定理的时候,他也没有使用在《几何原本I》中给出的关于平面的定义。到了现代,[Coxter, 1989a]给出了一个更精确的平面的定义:

定义:如果A,B,C三点不共线,则与三角形ABC任意一边或两边上任意两点所共线的所有点组成平面ABC。但是,欧几里得的定理XI.2和定理XI.13表明了希腊人知道一个平面可以由以下信息确定:

1. 由不共线的三点,
2. 由两条交叉直线,
3. 由一条直线和不在线上的一点,
4. 由一点和一条垂直线。

平面方程

所以,有许多方法来表示一个平面π。 有些在任意维度都可行,有些只在三维空间下可行。在任意维度下,总可以用三个非共线的点V0=(x0,y0,z0), V1=(x1,y1,z1), V2=(x2,y2,z2) 来作为最基本三角形的顶点。在三维空间下,这就可以使用下列方程来唯一确定一个平面的点(x,y,z):

clip_image002

此外,在任意维度下,类似于参数线性方程,可以用方向向量u= V1– V0或v= V2-V0代替任意两个指定点V1和V2。 然后,已知一点V0和不平行的方向向量u和v, 可得出平面PI的参数等式,即:

clip_image004

s和t是实数,即相对于原点V0的坐标,u和v是基础向量。当0<=s, 0<=t, s+t<=1时P=V(s,t)在三角形T=V0V1V2内。

clip_image006

参数对(s,t)被称为相对于T的P=V(s,t)的参数坐标。当 s=0, t=0 或 s+t=1其中任意一个条件满足时,点P在T的一条边上。另外,T的三个顶点为V0=V(0,0), V1=V(1,0), V2=V(0,1)。

一个类似的表述由对应于三角形T = V0V1V2的P点的面积重心坐标给出。这种方法联系将中心点P和三角形(b0,b1,b2)联系起来。使得:

clip_image007

三角形(b0,b1,b2)被称为P相对于三角形T的重心坐标,正交化的三角形(a0,a1,a2)满足a0 + a1 + a2 = 1,被称为P的面积(重心)坐标。显然,我们有P(a0,a1,a2) = a0V0 + a1V1 + a2V2,因此任何总和为1的三角形(a0,a1,a2)是一个有效的面积坐标。而且,面积坐标和平面上的所有的点有一一对应关系。这一点可以通过面积坐标和参数坐标的对应关系可以得出:a0 = (1-s-t), a1 = s, and a2 = t.

相对于三角形T,面积坐标具有大量的有用性质。例如,仅仅当面积坐标全部非负时,P点位于三角形T的内部,就是a0>=0, a1>=0, and a2>=0。

在3d中,对平面描述的另一个流行的且有用的表述是法线的形式,规定平面上的一个点V0和一个垂直于它的向量n。这种表示由于它的紧凑和高效可用于计算交叉点。但是,它仅仅用于在3d空间中来定义平面。在更高的维度上,这种表示定义了一个n-1维线性子空间。

在三维中,平面的法向量n可以通过平面上三个点V0V1V2的叉乘来计算,即n = u×v = (V1-V0)×(V2-V0)。那么,平面上的任意点都满足公式:

clip_image008 clip_image009

对于 n = (a,b,c), P = (x,y,z)和 d =(n · V0),方程为:

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注意,描述平面的线性方程的系数(a,b,c)给出了垂直于平面的向量。当d=0,π穿过原点。

经常使用单位向量来简化公式。通过分解n,用|n|=sqrt(a2+b2+c2),这样可以说方程ax+by+cz+d=0被归一化了。而且,当|n|=1时,n的系数a,b,c是向量n在xyz坐标中的方向余弦。同时,当|n|=1是,d是原点到平面的垂直距离,这一点我们将在下一节说明。

我们能从一种表示方法向另一种表示方法转换。例如,给出一个平面的2条非平行向量,它们的叉乘得出法向量。相应地,给定一个法向量,可以找到两条独立的垂直于它的矢量。例如,给定n = (a,b,c)且a!=0,那么u=(-b,a,0) 和 v=(-c,0,a)都垂直于n,这是由于它们满足u · n = 0和v · n = 0。这样,平面上三个非共线点是V0, V0+u,和V0+v

计算参数坐标

然而,这样的转换涉及很多复杂的计算。也就是说,找到已知的三维空间中的点P=(x,y,z)相对于三角形T=V0V1V2的参数或重心坐标需要复杂的计算。我们首先设定u=V1-V0, v=V2-V0, w=P-V0,然后,我们计算P的参数坐标(s,t)从而得出w=su+tv。当P在平面T内时得到存在且唯一的解。最后,点P=b0V0+b1V1+b2V2的重心坐标等于:b0=(1-s-t), b1=s, b2=t, 它满足b0+b1+b2=1。

为了解这个方程,我们设定一个一般化的垂直点积。对于一个有法向量n的二维平面π,向量a位于平面内(即a满足n·a = 0),定义π的一般化的垂直运算符为:a= n × a。那么,a成为平面π内的另一个向量(由于n·a = 0),而且它垂直于原来的向量a(由于a·a = 0)。而且,这个新的垂直运算符是线性向量,即,(Aa+Bb)=Aa+Bb,这里a和b是向量而A和B是常量。注意到,如果π是二维xy平面(z=0)且有n=(0,0,1), 则它恰恰就是[Hill, 1994]给出的垂直运算符。

现在,求解方程:w = su + tv。首先,在等号两边同时点积v,得到w · v = su · v + tv · v= su · v然后求s的解。类似的, 在等号两边同时点积u,这将得到w · u= su · u+ tv · u = tv · u然后求t的解。我们得到:

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只要三角形T是非退化的(即有非零的面积)那么分母一定非零。当T退化成一个线段或一个点,它在任何情况下都不能唯一确定一个平面了。

虽然我们使用了3次叉乘,但对于任何三个向量a b c,有:(a × b) × c = (a · c) b – (b · c) a简化如下:

clip_image015

我们现在用点积公式可以计算st

clip_image016

clip_image017

其中有5个独立的的点积运算。我们整理方程,发现2个分母是相同的,所以仅需要计算一次。

点到平面的距离

任意3d点P0 = (x0,y0,z0)到平面π:ax+by+cz+d=0的距离,可以通过点积得到向量(P0-V0)在n上的映射。如图所示:

clip_image019

公式为:

clip_image021

对于单位法向量,即当|n|=1时,这个等式可简化为:

clip_image023

表示了d是从原点(0,0,0)到平面π的距离。

这个公式给出了一个有符号的距离,在平面的一边为正在另一边则为负。所以这个距离的绝对值即是绝对距离。否则,在法向量一边的点,距离为正。由于这个性质,d(P0,π)的正负可用来测试已知点在平面的哪一侧。例如,如果P0P1为一条线段,它只有在平面的两侧才能和平面π相交,即d(P0,π) d(P1,π) < 0;相反,d(P0,π) d(P1,π) > 0时不相交。如果d(P0,π) d(P1,π) = 0,则意味着两个端点其中之一或者全部在平面π内。当两个端点都在平面π内时,则线段P0P1位于平面内。

这个公式和2d空间中一个点到一条线的距离公式非常类似。另外请注意,我们并没有计算从点到平面的垂直相交点。

然而,在有些情况下想知道点P0到平面π的正交投影。它可以通过做一条经过点P0垂直于平面π的直线,计算和平面π的交点。经过P0的垂直线由以下公式给出:P(s) = P0 + sn。当 P(s)满足平面方程:n · (P(s)-V0) = 0时和平面π相交。解此方程得到相交点Sπ,我们得到:

clip_image024

交点为:

clip_image025

对于特殊情况,当P0 = (0,0,0),则有:Pπ = –dn / |n|2,作为原点到平面的正交投影。我们看到:d(0,π) = d(0,Pπ) = d / |n|。当n是单位法向量时,d(0,π) = d

实现:

// Copyright 2001, softSurfer (www.softsurfer.com)
// This code may be freely used and modified for any purpose
// providing that this copyright notice is included with it.
// SoftSurfer makes no warranty for this code, and cannot be held
// liable for any real or imagined damage resulting from its use.
// Users of this code must verify correctness for their application.
// Assume that classes are already given for the objects:
//    Point and Vector with
//        coordinates {float x, y, z;}
//        operators for:
//            Point  = Point ± Vector
//            Vector = Point - Point
//            Vector = Scalar * Vector    (scalar product)
//    Plane with a point and a normal {Point V0; Vector n;}
//===================================================================
// dot product (3D) which allows vector operations in arguments
#define dot(u,v)   ((u).x * (v).x + (u).y * (v).y + (u).z * (v).z)
#define norm(v)    sqrt(dot(v,v))  // norm = length of vector
#define d(u,v)     norm(u-v)       // distance = norm of difference
// pbase_Plane(): get base of perpendicular from point to a plane
//    Input:  P = a 3D point
//            PL = a plane with point V0 and normal n
//    Output: *B = base point on PL of perpendicular from P
//    Return: the distance from P to the plane PL
float pbase_Plane( Point P, Plane PL, Point* B)
{
    float    sb, sn, sd;

    sn = -dot( PL.n, (P - PL.V0));
    sd = dot(PL.n, PL.n);
    sb = sn / sd;

    *B = P + sb * PL.n;
    return d(P, *B);
}
//===================================================================

参考文献:

Donald Coxeter, Introduction to Geometry (2nd Edition), Sect 12.4 “Planes and Hyperplanes”, John Wiley & Sons (1989a)
Donald Coxeter, Introduction to Geometry (2nd Edition), Sect 13.7 “Barycentric Coordinates”, John Wiley & Sons (1989b)
Euclid, The Elements, Alexandria (300 BC)
Andrew Hanson, “Geometry for N-Dimensional Graphics”  in Graphics Gems IV (1994)
Thomas Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, Vol 1 (Books I and II) (1956)
Thomas Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, Vol 3 (Books X-XIII) (1956)
Francis Hill, “The Pleasures of ‘Perp Dot’ Products” in Graphics Gems IV (1994)



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